Matematik 2c

[Emiro]

Kan någon hjälpa mig med detta tal?
Det är ett ekvationssystem så det ska vara en { till vänster om alla tre talen tillsammans.

2x+3y=6
x+y-z=0
2x+5y-2z=0

Svaret är:
X=6
Y=-2
Z=1

Hur i hela friden löser jag det? Finns det någon pedagogisk person där ute som kan lotsa mig igenom detta? Jag har läst exemplen i boken samt tittat på matematikvideo men går bet i alla fall. Hilfe!

 

[Wysiwyg]

Kan någon hjälpa mig med detta tal?
Det är ett ekvationssystem så det ska vara en { till vänster om alla tre talen tillsammans.

2x+3y=6
x+y-z=0
2x+5y-2z=0

Svaret är:
X=6
Y=-2
Z=1

Hur i hela friden löser jag det? Finns det någon pedagogisk person där ute som kan lotsa mig igenom detta? Jag har läst exemplen i boken samt tittat på matematikvideo men går bet i alla fall. Hilfe!

Hur har du börjat? Var går det fel?

Jag hade löst ut x i första ekvationen och z i andra och sen jobbat mig därifrån.

 

[labb]

Kan någon hjälpa mig med detta tal?
Det är ett ekvationssystem så det ska vara en { till vänster om alla tre talen tillsammans.

2x+3y=6
x+y-z=0
2x+5y-2z=0

Svaret är:
X=6
Y=-2
Z=1

Hur i hela friden löser jag det? Finns det någon pedagogisk person där ute som kan lotsa mig igenom detta? Jag har läst exemplen i boken samt tittat på matematikvideo men går bet i alla fall. Hilfe!

Skriv upp alla exkvationer prydligt och snyggt under varandra.

2x + 3y = 6 (1)
x + y - z = 0 (2)
2x + 5y - 2z = 0 (3)

Börja med x och gör alla termer lika stora, i detta fall multipicera ekv (2) med faktorn 2:

2x + 3y = 6
2x + 2y - 2z = 0
2x + 5y - 2z = 0

Dra bort ekv. (1) från övriga:

2x + 3y = 6
2x-2x + 2y-3y - 2z = 0 - 6
2x-2x + 5y-3y - 2z = 0 - 6

<=>
2x + 3y = 6
-y - 2z = -6
2y - 2z = -6

Gör termen för y lika stor i ekv. (2) o. (3), alltså multiplicera ekv. (2) med -2

2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
2y - 2z = -6

Dra bort ekv. (2) från (3):

2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
2y-2y -2z- 4z = -6 - 12

<=>


2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
-6z = - 18

<=>

2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
z = 3

Ekv (3) är klar så nu går vi uppåt istället. Sätt in evk. (3) i (2) o. (1)

2x + 3y = 6
2 y + 4*3 = 12
z = 3

<=>


2x + 3y = 6
y = 0
z = 3

Och sista, ekv. (2) i (1):

2x + 3*0 = 6
y = 0
z = 3

<=>

x = 3
y = 0
z = 3

Edit. Formateringen försvann när jag postade, alla x, y och z skall vara över varann, liksom +, - och = så blir ekvationssystemet överskådligare.

 

[labb]

Skriv upp alla exkvationer prydligt och snyggt under varandra.

2x + 3y = 6 (1)
x + y - z = 0 (2)
2x + 5y - 2z = 0 (3)

Börja med x och gör alla termer lika stora, i detta fall multipicera ekv (2) med faktorn 2:

2x + 3y = 6
2x + 2y - 2z = 0
2x + 5y - 2z = 0

Dra bort ekv. (1) från övriga:

2x + 3y = 6
2x-2x + 2y-3y - 2z = 0 - 6
2x-2x + 5y-3y - 2z = 0 - 6

<=>
2x + 3y = 6
-y - 2z = -6
2y - 2z = -6

Gör termen för y lika stor i ekv. (2) o. (3), alltså multiplicera ekv. (2) med -2

2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
2y - 2z = -6

Dra bort ekv. (2) från (3):

2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
2y-2y -2z- 4z = -6 - 12

<=>


2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
-6z = - 18

<=>

2x + 3y = 6
2 y + 4z = 12
z = 3

Ekv (3) är klar så nu går vi uppåt istället. Sätt in evk. (3) i (2) o. (1)

2x + 3y = 6
2 y + 4*3 = 12
z = 3

<=>


2x + 3y = 6
y = 0
z = 3

Och sista, ekv. (2) i (1):

2x + 3*0 = 6
y = 0
z = 3

<=>

x = 3
y = 0
z = 3

Edit. Formateringen försvann när jag postade, alla x, y och z skall vara över varann, liksom +, - och = så blir ekvationssystemet överskådligare.

Metoden att lösa linjära ekvationssystem kallas Gausselimination (har jag för mig) och är enkel men mycket användbar.

 

[my_mint]

En annan, lite enklare metod, om man nu har inte kommit så långt som till matriskalkyl med Gausselimination, är att substituera och använda ekvationer man har.

Lös ut X från mittersta ekvation: X=Z-Y och stoppa in det i andra ekvationer.
Du får 2(Z-Y) -3Y = 6 och 2(Z-Y) + 5Y -2Z = 0. I den sista ekvation ta Z-termerna ut varandra och kvar blir 3Y=0, dvs Y=0. Resten är rent trivialitet. Som du ser, i det linjära systemet finns nästan alltid flera lösningar.

 

[my_mint]

En annan, lite enklare metod, om man nu har inte kommit så långt som till matriskalkyl med Gausselimination, är att substituera och använda ekvationer man har.

Lös ut X från mittersta ekvation: X=Z-Y och stoppa in det i andra ekvationer.
Du får 2(Z-Y) -3Y = 6 och 2(Z-Y) + 5Y -2Z = 0. I den sista ekvation ta Z-termerna ut varandra och kvar blir 3Y=0, dvs Y=0. Resten är rent trivialitet. Som du ser, i det linjära systemet finns nästan alltid flera lösningar.

Fel tecken: 2(Z-Y) + 3Y = 6 ska det vara...

 

[Tora]

@my_mint En liten fråga bara...
Nu tar jag en enormt stor risk här att jag gör bort mig totalt men jag får skylla på att det är över 20 år sedan jag läste detta.

@Emiro skrev att svaret var:

Svaret är:
X=6
Y=-2
Z=1

Men är det svaret verkligen korrekt?

 

[Gnapp]

@my_mint En liten fråga bara...
Nu tar jag en enormt stor risk här att jag gör bort mig totalt men jag får skylla på att det är över 20 år sedan jag läste detta.

@Emiro skrev att svaret var:


Men är det svaret verkligen korrekt?

Nej, för andra ekvationen stämmer inte: 6 + -2 - 1 är 3, inte 0. Det är inte så konstigt att allt blir obegripligt då.

 

[my_mint]

@my_mint En liten fråga bara...
Nu tar jag en enormt stor risk här att jag gör bort mig totalt men jag får skylla på att det är över 20 år sedan jag läste detta.

@Emiro skrev att svaret var:


Men är det svaret verkligen korrekt?

Du har rätt. Det är inte rätt, mittersta ekvation X+Y-Z=0 funkar förstås inte.

 

[sjoberga]

Kan någon hjälpa mig med detta tal?
Det är ett ekvationssystem så det ska vara en { till vänster om alla tre talen tillsammans.

2x+3y=6
x+y-z=0
2x+5y-2z=0

Svaret är:
X=6
Y=-2
Z=1

Hur i hela friden löser jag det? Finns det någon pedagogisk person där ute som kan lotsa mig igenom detta? Jag har läst exemplen i boken samt tittat på matematikvideo men går bet i alla fall. Hilfe!

Man kan också rita upp ekvationerna på papper och hitta skärningspunkter (lösningar). Den första ekvationen beskriver en linje i z=0 planet som sedan är giltig för alla z (blir ett plan med 90 graders lutning mot z=0 planet). De andra 2 ekvationerna är också olika plan. På det sättet får man också en snabb uppfattning om det (1) saknas lösning (2) finns oändligt med lösningar eller (3) en unik lösning.

I verkliga livet förekommer alla 3, men i matteböckerna finns en stark förkärlek att skapa uppgifter enligt (3).

I det här fallet så verkar facitförfattaren ha räknat bort sig.

 

[Emiro]

Tack alla som har svarat! Det är alltså fel i facit i boken. Då var det inte så konstigt att jag inte fått till det.
Men era tips tar jag med mig, mycket bra förklarat.

 

[Emiro]

En annan, lite enklare metod, om man nu har inte kommit så långt som till matriskalkyl med Gausselimination, är att substituera och använda ekvationer man har.

Lös ut X från mittersta ekvation: X=Z-Y och stoppa in det i andra ekvationer.
Du får 2(Z-Y) -3Y = 6 och 2(Z-Y) + 5Y -2Z = 0. I den sista ekvation ta Z-termerna ut varandra och kvar blir 3Y=0, dvs Y=0. Resten är rent trivialitet. Som du ser, i det linjära systemet finns nästan alltid flera lösningar.

Hur vet jag vilken variabel som är lämpligast att lösa ut? Inte bara i detta fall alltså.

 

[Emiro]

Någon som känner sig manad att försöka sig på ett nytt tal?

I en rätvinklig triangel delar bisektrisen till den räta vinkeln hypotenusan i delarna 7,00 och 9,00 cm.
Bestäm kateternas längder.

Svaret är: 9,8 och 12,6 cm.

Jag börjar såhär 9/7=x/y men sen vet jag inte hur jag ska fortsätta.
Någon som vill hjälpa mig, pliis?

 

[labb]

Någon som känner sig manad att försöka sig på ett nytt tal?

I en rätvinklig triangel delar bisektrisen till den räta vinkeln hypotenusan i delarna 7,00 och 9,00 cm.
Bestäm kateternas längder.

Svaret är: 9,8 och 12,6 cm.

Jag börjar såhär 9/7=x/y men sen vet jag inte hur jag ska fortsätta.
Någon som vill hjälpa mig, pliis?

Du använder bisektrissatsen och Phytagoras sats:
x/y = 9 / 7
x^2 + y^2 = (7 +9)^2

Lös ut x i första och stoppa in i andra så har du svaret

 

[labb]

Hur vet jag vilken variabel som är lämpligast att lösa ut? Inte bara i detta fall alltså.

Lösa ut eller rita funkar praktiskt bara för de enklaste ekvationssystemen medans Gausselemination funkar för alla och kräver minst tankearbete (men lite mer att skriva)

 

[Emiro]

Du använder bisektrissatsen och Phytagoras sats:
x/y = 9 / 7
x^2 + y^2 = (7 +9)^2

Lös ut x i första och stoppa in i andra så har du svaret

Tack snälla för ditt svar. Men jag får inte till det ändå.
Någonstans blir det fel.
Såhär gjorde jag:

X/y=9/7

X^2+y^2=(7+9)^2

7x=9y
X=1,3y

1,3y^2+y^2=(7+9)^2
2,3y^2=256
Y^2=111,3
Y=10,6

Redan här är det väl fel?

X/10,6=9/7
7x=95
X=13,6

Men svaret skulle ju bli 9,8 och 12,6. Vad gör jag för fel?

 

[Emiro]

Lösa ut eller rita funkar praktiskt bara för de enklaste ekvationssystemen medans Gausselemination funkar för alla och kräver minst tankearbete (men lite mer att skriva)

Då ska jag lära mig den, tack.

 

[labb]

Tack snälla för ditt svar. Men jag får inte till det ändå.
Någonstans blir det fel.
Såhär gjorde jag:

X/y=9/7

X^2+y^2=(7+9)^2

7x=9y
X=1,3y

1,3y^2+y^2=(7+9)^2
2,3y^2=256
Y^2=111,3
Y=10,6

Redan här är det väl fel?

X/10,6=9/7
7x=95
X=13,6

Men svaret skulle ju bli 9,8 och 12,6. Vad gör jag för fel?

Du glömde ta också 1,3 i kvadrat

 

[labb]

Då ska jag lära mig den, tack.

Egentligen är det samma sak man gör när man löser ut och sätter in. Gausselemination är bara en systematisering av arbetet att lösa ett linjärt ekvationssystem, ett slags schema man använder för att ge ordning och reda när man har många obekanta variabler.

 

[Emiro]

Du glömde ta också 1,3 i kvadrat

Man kan alltså inte addera 1,3y och y och sen ta 2,3^2?

Ok, jag provade igen. Törs jag säga att det blev fel ändå?

1,3y^2+y^2=(7+9)^2
1,69y+y^2=256
y^2=256-1,69y
y=16-1,3y
2,3y=16
y=6,96