Matematik 2c

[Emiro]

Har du koll på pq-formeln?

Ja, älskar den.

 

[Emiro]

En ekvation med rötterna x1 och x2 kan skrivas på formen k*(x-x1)*(x-x2)=0. (Detta är lätt att verifiera: sätt in x=x1 så blir första parentesen noll (och därmed hela produkten) och motsvarande för x=x2.) Eftersom vi vill ha koefficienten 1 framför x^2 så välj k=1. Då blir det 1*(x-5i)*(x-(-5i)) = (x-5i)*(x+5i) = x^2-5ix+5ix-25i^2 = x^2-25*(-1) = x^2+25 = 0.

Värt att notera att detta inte bara funkar för andragradare utan även för högre ordningar, t.ex. en femtegradare med rötterna x1-x5 kan på samma sätt skrivas k*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5).

Oj, det var avancerat! Det finns ingen enklare väg?

 

[As_Vegas]

Ja, älskar den.

Bra, det går att "se" på den hur ekvationen ska se ut.
Eftersom rötterna är +/- 5i måste ju p vara noll och ekvationen se ut som x^2+q=0.
För att få rötterna ska bli imaginära måste det som står under rottecknet bli negativt, och eftersom vi redan vet att p är 0 så måste q vara positiv (eftersom den byter tecken när den hamnar under rottecknet).
5i^2 = (-5i)^2 = -25
-25+q=0 ger att alltså måste q bli 25.

Skriver på mobilen, sorry om det blir rörigt.

 

[Derring-Do]

Oj, det var avancerat! Det finns ingen enklare väg?

Verkar det avancerat så har jag förklarat för dåligt. Jag tycker ju mitt sätt är jättebra eftersom det är så enkelt att förstå så man inte behöver lära sig några formler. (Jag har aldrig orkat bry mig om att memorera pq-formeln, utan får härleda den om jag nån gång behöver den. ) Jag ska försöka förklara mer stegvis så får du fråga om något fortfarande är oklart sen. Bli inte rädd för att det är en lång förklaring! Det är bara för att jag försöker vara så utförlig som möjligt.

Vi vill en ekvation på formen x^2+px+q=0 som har rötterna X1=5i och X2=-5i.

Om vi börjar med bara den första roten, hitta på någonting som blir noll när x är 5i. Det är ganska enkelt: x-5i funkar ypperligt. Och så fortsätter vi med lågstadiekunskaperna (eftersom jag är för lat för något mer avancerat ): vadsomhelst gånger noll blir noll. Det kan vi utnyttja till att se att vadsomhelst*(x-5i) blir noll när x=5i.

Frågor så långt? Vi är typ halvvägs nu.

Nu tittar vi på andra roten, hitta något som är noll när x är -5i. Där funkar x-(-5i) = x+5i bra. Och enligt resonemanget ovan kan vi ta det gånger vad som helst och det blir fortfarande noll! Så då passar vi på att ta det gånger det vi hade från första steget, så får vi vadsomhelst*(x-5i)*(x+5i).

Fler frågor? Vi är nästan framme nu!

Innan vi fortsätter kan vi passa på att kolla så vi verkar vara rätt på det (en av de fina sakerna med matte är ju att vi ofta kan kolla så vi räknat rätt ). Vi testar att stoppa in x=5i, blir det noll? Jepp! Samma sak för x=-5i? Yes, stämmer, då kan vi fortsätta.

Nu har vi ju en lösning med rätt rötter, men vadsomhelst*(x-5i)*(x+5i) kanske inte ser så bra ut som svar på ett prov. Vi börjar med att multiplicera ihop parenteserna, så blir det vadsomhelst*(x^2-25). Bättre, men vad ska vi göra med det där "vadsomhelst"? Jo, i uppgiften stod det att svaret skulle ha formen x^2+px+q. Vi vill alltså inte ha någon faktor framför x^2. Därför väljer vi att bara sätta in 1 som vadsomhelst, så får vi kvar x^2-25.

Nu är vi i mål, och det mest avancerade vi behövt göra är att multiplicera ihop i:na! Något som var oklart?

(Som jag sa innan så fungerar den här metoden även på högre ordningens polynom, men den blir inte mer avancerad för det. Det betyder bara att om någon vill sätta dit dig och säger "hitta en ekvation med de här 17st rötterna" så kan du skratta dem i ansiktet och svara "plättlätt, fixar jag på under fem minuter". )

 

[Emiro]

Verkar det avancerat så har jag förklarat för dåligt. Jag tycker ju mitt sätt är jättebra eftersom det är så enkelt att förstå så man inte behöver lära sig några formler. (Jag har aldrig orkat bry mig om att memorera pq-formeln, utan får härleda den om jag nån gång behöver den. ) Jag ska försöka förklara mer stegvis så får du fråga om något fortfarande är oklart sen. Bli inte rädd för att det är en lång förklaring! Det är bara för att jag försöker vara så utförlig som möjligt.

Vi vill en ekvation på formen x^2+px+q=0 som har rötterna X1=5i och X2=-5i.

Om vi börjar med bara den första roten, hitta på någonting som blir noll när x är 5i. Det är ganska enkelt: x-5i funkar ypperligt. Och så fortsätter vi med lågstadiekunskaperna (eftersom jag är för lat för något mer avancerat ): vadsomhelst gånger noll blir noll. Det kan vi utnyttja till att se att vadsomhelst*(x-5i) blir noll när x=5i.

Frågor så långt? Vi är typ halvvägs nu.

Nu tittar vi på andra roten, hitta något som är noll när x är -5i. Där funkar x-(-5i) = x+5i bra. Och enligt resonemanget ovan kan vi ta det gånger vad som helst och det blir fortfarande noll! Så då passar vi på att ta det gånger det vi hade från första steget, så får vi vadsomhelst*(x-5i)*(x+5i).

Fler frågor? Vi är nästan framme nu!

Innan vi fortsätter kan vi passa på att kolla så vi verkar vara rätt på det (en av de fina sakerna med matte är ju att vi ofta kan kolla så vi räknat rätt ). Vi testar att stoppa in x=5i, blir det noll? Jepp! Samma sak för x=-5i? Yes, stämmer, då kan vi fortsätta.

Nu har vi ju en lösning med rätt rötter, men vadsomhelst*(x-5i)*(x+5i) kanske inte ser så bra ut som svar på ett prov. Vi börjar med att multiplicera ihop parenteserna, så blir det vadsomhelst*(x^2-25). Bättre, men vad ska vi göra med det där "vadsomhelst"? Jo, i uppgiften stod det att svaret skulle ha formen x^2+px+q. Vi vill alltså inte ha någon faktor framför x^2. Därför väljer vi att bara sätta in 1 som vadsomhelst, så får vi kvar x^2-25.

Nu är vi i mål, och det mest avancerade vi behövt göra är att multiplicera ihop i:na! Något som var oklart?

(Som jag sa innan så fungerar den här metoden även på högre ordningens polynom, men den blir inte mer avancerad för det. Det betyder bara att om någon vill sätta dit dig och säger "hitta en ekvation med de här 17st rötterna" så kan du skratta dem i ansiktet och svara "plättlätt, fixar jag på under fem minuter". )

Du förklarar jättebra! Det är jag som har väldigt svårt för matte..
Tack snälla du, nu ska jag prova själv. Kan hända att jag återkommer med lite härliga rotekvationer. De är också svåra tycker jag..

 

[Emiro]

Bra, det går att "se" på den hur ekvationen ska se ut.
Eftersom rötterna är +/- 5i måste ju p vara noll och ekvationen se ut som x^2+q=0.
För att få rötterna ska bli imaginära måste det som står under rottecknet bli negativt, och eftersom vi redan vet att p är 0 så måste q vara positiv (eftersom den byter tecken när den hamnar under rottecknet).
5i^2 = (-5i)^2 = -25
-25+q=0 ger att alltså måste q bli 25.

Skriver på mobilen, sorry om det blir rörigt.

Nejdå, det är inte rörigt! Tack snälla, nu ska jag försöka tackla det själv.

 

[As_Vegas]

Nejdå, det är inte rörigt! Tack snälla, nu ska jag försöka tackla det själv.

Det var så lite så
Läste igenom förklaringen från @Derring-Do och det är ju det lite mer korrekta sättet att lösa uppgiften (genom ren förståelse för sifforna), men om du är van att använda pq-formeln kan den ju erbjuda en genväg i vissa fall.

 

[Emiro]

Här kommer en härlig rotekvation som utlovat.
Hur fasen gör man roten ur-tecken på telefon?
Roten ur x=1+roten ur (x-9)

Eller kan man skriva såhär kanske:
X^0,5=(x-9)^0,5

Svar: x=25

 

[As_Vegas]

För att bli av med rottecken höjer du upp båda sidor till två och får:
x=(1+sqrt (x-9))^2
Skriv ut parentesen:
x=1+2×sqrt (x-9)+x-9
Ta -x på båda sidor:
0=2×sqrt (x-9)-8
Flytta om:
2×sqrt (x-9)=8
Dela båda sidor med 2:
Sqrt (x-9)=4
Höj upp båda sidor till 2:
x-9=16
Ger:
x=25

 

[Emiro]

För att bli av med rottecken höjer du upp båda sidor till två och får:
x=(1+sqrt (x-9))^2
Skriv ut parentesen:
x=1+2×sqrt (x-9)+x-9
Ta -x på båda sidor:
0=2×sqrt (x-9)-8
Flytta om:
2×sqrt (x-9)=8
Dela båda sidor med 2:
Sqrt (x-9)=4
Höj upp båda sidor till 2:
x-9=16
Ger:
x=25

Tack!!

 

[Emiro]

Fasen, trodde att jag skulle kunna lösa nästa med hjälp av ditt svar men går bet ändå..
Har du tid med en till @As_Vegas ?

3+(x-1)^0,5=(4x+5)^0,5

 

[Derring-Do]

Vad är det du fastnar på?
Försök skriva ner så långt du kommit, så kan vi hjälpa dig med det du har problem med. Det brukar ge mer än att bara få en färdig lösning presenterad.

 

[As_Vegas]

Fasen, trodde att jag skulle kunna lösa nästa med hjälp av ditt svar men går bet ändå..
Har du tid med en till @As_Vegas ?

3+(x-1)^0,5=(4x+5)^0,5

Flytta om:
3=sqrt(4x+5)-sqrt(x-1)
Höj upp båda till 2 och förläng:
9=4x+5-2*sqrt((4x+5)*(x-1))+x-1
Skriver ut det under rottecknet:
9=5x+4-2*sqrt(4x^2-4x+5x-5)
5=5x-2*sqrt(4x^2+x-5)
2*sqrt(4x^2+x-5)=5x-5
Höj upp båda till 2:
4*(4x^2+x-5)=25*(x-1)^2
16x^2+4x-20=25x^2-50x+25
9x^2-54x+45=0
Dela med 9:
x^2-6x+5=0

x= 3 +/- sqrt(9-5) = 3 +/- sqrt(4) = 3 +/- 2

x1=1 och x2=5

 

[Emiro]

Flytta om:
3=sqrt(4x+5)-sqrt(x-1)
Höj upp båda till 2 och förläng:
9=4x+5-2*sqrt((4x+5)*(x-1))+x-1
Skriver ut det under rottecknet:
9=5x+4-2*sqrt(4x^2-4x+5x-5)
5=5x-2*sqrt(4x^2+x-5)
2*sqrt(4x^2+x-5)=5x-5
Höj upp båda till 2:
4*(4x^2+x-5)=25*(x-1)^2
16x^2+4x-20=25x^2-50x+25
9x^2-54x+45=0
Dela med 9:
x^2-6x+5=0

x= 3 +/- sqrt(9-5) = 3 +/- sqrt(4) = 3 +/- 2

x1=1 och x2=5

Herregud, vad det tog tid att få in detta i huvudet. Men det gick! Tack snälla!

 

[Emiro]

Vad är det du fastnar på?
Försök skriva ner så långt du kommit, så kan vi hjälpa dig med det du har problem med. Det brukar ge mer än att bara få en färdig lösning presenterad.

Men då måste jag ju blotta hur kass jag är... Ok, kanske gör det nästa gång. Kanske.

 

[Derring-Do]

Men då måste jag ju blotta hur kass jag är... Ok, kanske gör det nästa gång. Kanske.

Nejdå, har man börjat tänka och försöka så är man inte kass, det betyder ju att man jobbar aktivt med att lära sig något! Och om man sedan ber om hjälp när man kört fast så är man smart! (Kass är den som inte försöker alls, de är ganska hopplösa att hjälpa. Och den som klarar alla uppgifter med en gång är kanske på fel kurs. )

 

[Emiro]

Nejdå, har man börjat tänka och försöka så är man inte kass, det betyder ju att man jobbar aktivt med att lära sig något! Och om man sedan ber om hjälp när man kört fast så är man smart! (Kass är den som inte försöker alls, de är ganska hopplösa att hjälpa. Och den som klarar alla uppgifter med en gång är kanske på fel kurs. )

Tack för de snälla orden.

 

[As_Vegas]

Herregud, vad det tog tid att få in detta i huvudet. Men det gick! Tack snälla!

Det är ju en smaksak hur man gör, men jag brukar sarsa på att få bort alla roten ur och samla alla x på en sida. x^2 eller högre brukar vara lättare att hantera än roten ur x. Sen blir det till att krångla runt tills det släpper.
Har du koll på alla räkneregler? Till exempel att man får bort roten ur genom att höja upp till 2 osv? Det finns schyssta tabeller om man googlar, så kan man testa diverse omskrivningar och regler på problemet och se vad som ger resultat.

 

[Emiro]

Det är ju en smaksak hur man gör, men jag brukar sarsa på att få bort alla roten ur och samla alla x på en sida. x^2 eller högre brukar vara lättare att hantera än roten ur x. Sen blir det till att krångla runt tills det släpper.
Har du koll på alla räkneregler? Till exempel att man får bort roten ur genom att höja upp till 2 osv? Det finns schyssta tabeller om man googlar, så kan man testa diverse omskrivningar och regler på problemet och se vad som ger resultat.

Jag har halvkoll hoppas jag. Just att få bort roten ur med att höja upp till två vet jag iallafall. Tabeller lät bra!

 

[Emiro]

Uppdatering: jag klarade kursen! Tack för all hjälp.

Nu har jag börjat med 3c och skulle behöva lite hjälp med ett tal.

Bestäm f(-2) och f'(-2) om f(x)=10x^2

Jag får svaret f'(-2)=-40 och f(-2)=-40
F'(-2) är rätt men f(-2) ska bli 40, inte -40 som jag får det till.

Så här räknar jag: f(-2)=10(-2^2)=-40
Hur kan svaret bli positivt?